Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]

Задача 58165 (#23.006)

Темы:	[	Четность и нечетность	]
Темы:	[	Ломаные	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев ломаной особой, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58166 (#23.007)

[Лемма Шпернера]

Тема:

[

Четность и нечетность

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Вершины треугольника помечены цифрами 0, 1 и 2. Этот треугольник разбит на несколько треугольников таким образом, что никакая вершина одного треугольника не лежит на стороне другого. Вершинам исходного треугольника оставлены старые пометки, а дополнительные вершины получают номера 0, 1, 2, причём каждая вершина на стороне исходного треугольника должна быть помечена одной из пометок вершин этой стороны (см. рис.). Докажите, что существует треугольник разбиения, помеченный цифрами 0, 1, 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58167 (#23.008)

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 7,8

Вершины правильного 2n-угольника A₁...A_2n разбиты на n пар.
Докажите, что если n = 4m + 2 или n = 4m + 3, то две пары вершин являются концами равных отрезков.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58168 (#23.009)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Раскраски	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Многоугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На рис. изображен шестиугольник, разбитый на чёрные и белые треугольники так, что каждые два треугольника имеют либо общую сторону (и тогда они окрашены в разные цвета), либо общую вершину, либо не имеют общих точек, а каждая сторона шестиугольника является стороной одного из черных треугольников. Докажите, что десятиугольник разбить таким образом нельзя.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58169 (#23.010)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Разрезания на параллелограммы	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]