Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два подобных треугольника.

   Решение

---

Про грибы.В корзине лежат 30 грибов. Среди любых 12 из них имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

   Решение

---

Для каких n возможны равенства:   a)  φ(n) = n – 1;   б)  φ(2n) = 2φ(n);   в)  φ(n^k) = n^k–1φ(n)?

   Решение

---

По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.

   Решение

---

Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и углом α бокового ребра с плоскостью основания,

   Решение

---

Дан выпуклый 2n-угольник A₁...A_2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A₁,..., A_2n.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58170  (#23.011)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали.
Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58171  (#23.012)

Темы:   [ Инварианты ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри любого квадрата 2×2.
Может ли при этом на доске остаться ровно одна чёрная клетка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58172  (#23.013)

Темы:   [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан выпуклый 2n-угольник A₁...A_2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A₁,..., A_2n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58173  (#23.014)

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58174  (#23.015)  [Формула Эйлера]

Тема:   [ Эйлерова характеристика ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Многоугольник разрезан на несколько многоугольников. Пусть p — количество полученных многоугольников, q — количество отрезков, являющихся их сторонами, r — количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что p - q + r = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями