Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ – основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$, касается сторон $A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, B_{1}C_{1}$ в точках $C_{2}, B_{2}, A_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника $ABC$.

Вниз   Решение


Пусть уравнение  x³ + px + q = 0  имеет корни x1, x2 и x3. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения   D = (x1x2)²(x² – x3)²(x3x1)².

ВверхВниз   Решение


На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке P. Пусть la, lb, lc — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B1C1, CA и C1A1, AB и A1B1. Докажите, что прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M — центр масс треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Сумма трёх положительных углов равна 90o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?

ВверхВниз   Решение


В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если корни многочлена  f(x) = x³ + ax² + bx + c  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

ВверхВниз   Решение


При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения  x³ – x – a = 0.

ВверхВниз   Решение


На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$, $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$, $B_1C_2\| BC$, $C_1A_2\| CA$. Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$, $BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).

ВверхВниз   Решение


Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



Задача 58175  (#23.015B)

Темы:   [ Эйлерова характеристика ]
[ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79493  (#23.016)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58177  (#23.017)

Тема:   [ Инварианты ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58178  (#23.018)

Тема:   [ Инварианты ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58179  (#23.019)

Тема:   [ Инварианты ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Даны точки A1,..., An. Рассмотрим окружность радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса R с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .