ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 29. Аффинные преобразования
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Вася написал на листке бумаги записку, сложил её вчетверо, надписал сверху "МАМЕ" (см. фото). Затем он развернул записку, дописал ещё кое-что, опять сложил записку по линиям сгиба случайным образом (не обязательно, как раньше) и оставил на столе, положив случайной стороной вверх. Найдите вероятность того, что надпись "МАМЕ" по-прежнему сверху.

Вниз   Решение

В сумме  + 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729  можно вычеркивать любые слагаемые и изменять некоторые знаки перед оставшимися числами с "+" на "–". Маша хочет таким способом сначала получить выражение, значение которого равно 1, затем, начав сначала, получить выражение, значение которого равно 2, затем (снова начав сначала) получить 3, и так далее. До какого наибольшего целого числа ей удастся это сделать без пропусков?

ВверхВниз   Решение

Автор: Полянский А.

Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB1 – AC1 = CA1 – CB1 = BC1 – BA1.  Пусть OA, OB и OC – центры описанных окружностей треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника OAOBOC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Для квадратного трёхчлена  f(x) и некоторых действительных чисел l, t и v выполнены равенства:  f(l) = t + v,  f(t) = l + v,  f(v) = l + t.
Докажите, что среди чисел l, t и v есть равные.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что прямая, проходящая через точки a1 и a2, задаётся уравнением

z($\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$) - $\displaystyle \bar{z}$(a1 - a2) + (a1$\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$a2) = 0.


Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

Задача 58390  (#29.024B)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число $ {\frac{1}{2}}$(a + b + c - $ \bar{a}$bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58391  (#29.026B-)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Докажите, что прямая, проходящая через точки a1 и a2, задаётся уравнением

z($\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$) - $\displaystyle \bar{z}$(a1 - a2) + (a1$\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$a2) = 0.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58392  (#29.025)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az$\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58393  (#29.026B)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

а) Пусть $ \varepsilon$ = $ {\frac{1}{2}}$ + $ {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$. Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $ \varepsilon^{2}_{}$b + $ \varepsilon^{4}_{}$c = 0 или a + $ \varepsilon^{4}_{}$b + $ \varepsilon^{2}_{}$c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58394  (#29.026)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Пусть точки A*, B*, C*, D* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) $ {\frac{AC}{AD}}$ : $ {\frac{BC}{BD}}$ = $ {\frac{A^*C^*}{A^*D^*}}$ : $ {\frac{B^*C^*}{B^*D^*}}$;
б) $ \angle$(DA, AC) - $ \angle$(DB, BC) = $ \angle$(D*B*, B*C*) - $ \angle$(D*A*, A*C*).
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам