Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть на двух пересекающихся прямых l₁ и l₂ выбраны точки M₁ и M₂, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M₁, M₂ и M.
Если (l₁, M₁), (l₂, M₂), (l₃, M₃) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l₁, M₁) и (l₂, M₂), (l₂, M₂) и (l₃, M₃), (l₃, M₃) и (l₁, M₁), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).

   Решение

---

Решить предыдущую задачу, если про массивы известно лишь, что x[1]≤...≤x[k] и  y[1]≤...≤y[l] (возрастание заменено неубыванием).

   Решение

---

Точка M расположена на стороне CD квадрата ABCD с центром O, причём  CM : MD = 1 : 2.
Найдите стороны треугольника AOM, если сторона квадрата равна 6.

   Решение

---

Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.

   Решение

---

Дано отображение прямой a на прямую b, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58414

Тема:   [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Дано отображение прямой a на прямую b, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58415

Тема:   [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Докажите, что преобразование P числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде

где a, b, c, d — такие числа, что ad - bc 0. (Такие отображения называют дробно-линейными.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58416

Тема:   [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если (ABCD) = 1, то либо A = B, либо C = D.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58417

Тема:   [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Даны прямая l, окружность и точки M, N, лежащие на окружности и не лежащие на прямой l. Рассмотрим отображение P прямой l на себя, являющееся композицией проектирования прямой l на данную окружность из точки M и проектирования окружности на прямую l из точки N. (Если точка X лежит на прямой l, то P(X) есть пересечение прямой NY с прямой l, где Y — отличная от M точка пересечения прямой MX с данной окружностью.) Докажите, что преобразование P проективно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58418

Тема:   [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Даны прямая l, окружность и точка M, лежащая на окружности и не лежащая на прямой l. Пусть P_M — проектирование прямой l на данную окружность из точки M (точка X прямой отображается в отличную от M точку пересечения прямой XM с окружностью), R — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композиция P_M^-1oRoP_M является проективным преобразованием.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями