ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 30. Проективные преобразования >> параграф 4. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Штейнгарц Л.

В параллелограмме ABCD провели трисектрисы углов A и B. Трисектрисы, ближние к стороне AB, пересекаются в точке O. Обозначим пересечение трисектрисы AO со второй трисектрисой угла B через A1, а пересечение трисектрисы BO со второй трисектрисой угла A через B1. Пусть M – середина отрезка A1B1, а прямая MO пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что треугольник A1B1N – равносторонний.

Вниз   Решение

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $ \geqslant$ 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 5an + 1 - 6an;
б) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = 3an + 1 - 2an;
в) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = an + 1 + an;
г) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - an;
д) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 2an + 1 + an.

ВверхВниз   Решение

В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

  с решениями  

Задача 52460

 [Теорема о бабочке]
Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Радикальная ось ]
[ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что  PC = QC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58451

 [Теорема Паскаля]
Темы:   [ Теорема Паскаля ]
[ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58444

Тема:   [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58445

Тема:   [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58446

Тема:   [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам