ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
Параграфы:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)2 попыток? Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD
и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями. Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой. Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися
диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при
котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники
ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований,
за которое любое разбиение можно перевести в любое другое.
Докажите, что: а)
P(n) В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур? В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся
описанной окружности. Пусть A1, B1 и C1 — точки
касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Докажите, что эллиптическое зеркало обладает тем
свойством, что пучок лучей света, исходящий из одного фокуса,
сходится в другом.
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 84]
Докажите, что множество точек, сумма расстояний от
которых до двух заданных точек F1 и F2 —
постоянная величина, есть эллипс.
Докажите, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.
Докажите, что уравнение касательной к эллипсу
Докажите, что эллиптическое зеркало обладает тем
свойством, что пучок лучей света, исходящий из одного фокуса,
сходится в другом.
а) Докажите, что для любого параллелограмма
существует эллипс, касающийся сторон параллелограмма в их
серединах.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 84]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке