В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?

   Решение

Докажите, что  cos²(/2) = p(p - a)/bc и  sin²(/2) = (p - b)(p - c)/bc.

   Решение

На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?

   Решение

Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?

   Решение

Существуют ли такие натуральные n и k, что десятичная запись числа 2ⁿ начинается числом 5^k, а десятичная запись числа 5ⁿ начинается числом 2^k?

   Решение

Пусть  f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)  – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

   Решение

На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD взяты точки M и N так, что  AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM — в точке L. Докажите, что  S_KMLN = S_ADK + S_BCL.

   Решение

Среди своих старых рисунков Катя нашла несколько картинок с разноцветным зонтиком. Катя помнит, что рисовала один и тот же зонтик (вид сверху), только повёрнутый по-разному. К сожалению, от времени краска частично выцвела.

Помогите Кате восстановить, в каком порядке располагались цвета на зонтике, если идти от 1 (розового) по часовой стрелке.

   Решение

Потроить треугольник по высоте к стороне a h_a, медиане к стороне a m_a и высоте к стороне b h_b.

   Решение

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.

   Решение

Доказать, что квадрат любого простого числа  p > 3  при делении на 12 даёт в остатке 1.

   Решение

Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней.

   Решение

Докажите, что касательные к параболе 4y = x² в точках (2t₁, t²₁) и (2t₂, t₂²) пересекаются в точке (t₁ + t₂, t₁, t₂).

   Решение

Потроить треугольник по сторонам a и b и медиане к стороне c m_c.

   Решение

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.

   Решение

На сторонах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, делящие его стороны в отношениях  BA₁ : A₁C = p, CB₁ : B₁A = q и  AC₁ : C₁B = r. Точки пересечения отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ расположены так, как показано на рис. Найдите отношение площадей треугольников PQR и ABC.

   Решение

Докажите, что точка  m = ¹/₃ (a₁ + a₂ + a₃)  является точкой пересечения медиан треугольника a₁a₂a₃.

   Решение

Существует ли треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом?

   Решение

По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10\%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.

   Решение

Две параболы, оси которых перпендикулярны, пересекаются в четырех точках. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 84]      

Две параболы, оси которых перпендикулярны, пересекаются в четырех точках. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что середины параллельных хорд параболы лежат на одной прямой, параллельной оси параболы.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равны.
б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является параболой.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что пучок лучей света, параллельных оси параболы, после отражения от параболы сходится в ее фокусе.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что касательные к параболе 4y = x² в точках (2t₁, t²₁) и (2t₂, t₂²) пересекаются в точке (t₁ + t₂, t₁, t₂).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 84]