Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 1. Метод математической индукции
- параграф 1. Аксиома индукции (7 задач)
- параграф 2. Тождества, неравенства и делимость (33 задачи)
- параграф 3. Индукция в геометрии и комбинаторике (19 задач)
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
а) k = 9; б) k = 8?
В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город A доступен для города B, если из B можно долететь в A, возможно, с пересадками. Известно, что для любых двух городов P и Q существует город R, для которого и P, и Q доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что город доступен для себя.)
Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае – 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)
Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причём так, что каждая его вершина является вершиной по крайней мере двух многоугольников разбиения. Докажите, что число пятиугольников разбиения не меньше 13.
Доказать, что на плоскости нельзя расположить больше четырёх выпуклых многоугольников так, чтобы каждые два из них имели общую сторону.
Докажите, что
Пусть M – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника ABC. При повороте на 120° вокруг точки M точка B переходит в точку P, при повороте на 240° вокруг точки M (в том же направлении) точка C переходит в точку Q. Докажите, что либо треугольник APQ – правильный, либо точки A, P, Q совпадают.
Число x таково, что число
x + — целое. Докажите, что при любом натуральном n
число
xn +
также является целым.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]
Задача 60274 (#01.001)[Деление с остатком] |
|
|
Докажите, что если a и b – целые числа и b ≠ 0, то существует единственная пара чисел q и r, для которой a = bq + r, 0 ≤ r < |b|.
|
|
Решение |
Задача 60275 (#01.002) |
|
|
Позиционная система
счисления.
Докажите, что
при
q 2 каждое натуральное число n может быть
единственным образом представлено в виде
|
|
|
Решение |
Задача 60276 (#01.003) |
|
|
Пусть a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T an+T = an (n ≥ 0). Докажите, что
а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
б) T делится на t.
|
|
|
Решение |
Задача 60277 (#01.004) |
|
|
Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1,
и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его
справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции
равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел
содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и
вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то
оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого
a, и из предположения, что утверждение верно для всех
натуральных чисел k, таких, что
a k < n вытекает его
справедливость для n, то это утверждение верно для всех
натуральных чисел
k
a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение
верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для
некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то
это утверждение верно для всех натуральных чисел.
|
|
|
Решение |
Задача 60278 (#01.005) |
|
|
Число x таково, что число
x + — целое. Докажите, что при любом натуральном n
число
xn +
также является целым.
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]
