Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решите уравнение:  (x³ – 2)(2^{sin x} – 1) + (2^x³ – 4) sin x = 0.

   Решение

---

Натуральное число n таково, что  3n + 1  и  10n + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29n + 11  – составное.

   Решение

---

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?

   Решение

---

Пусть  f_n = 2²ⁿ + 1.  Докажите, что  f_n  делит  2^f_n – 2.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60478  (#03.026)  [Числа Ферма]

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  aⁿ + 1  простое, то a чётно и  n = 2^k.
(Числа вида  f_k = 2^2k + 1  называются числами Ферма.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60479  (#03.027)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть  f_n = 2²ⁿ + 1.  Докажите, что  f_n  делит  2^f_n – 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60480  (#03.028)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что числа Ферма  f_n = 2²ⁿ + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60481  (#03.029)  [Числа Мерсенна]

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ – 1 простое, то  a = 2  и n – простое.
(Числа вида  q = 2ⁿ – 1  называются числами Мерсенна.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60482  (#03.030)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями