Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.

   Решение

В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков, параллельных его сторонам, причем эти отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин отрезков равна 18. Докажите, что площадь одной из частей, на которые разбит квадрат, не меньше 0,01.

   Решение

Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок  [0, 1]  разбит на  p + q  одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из  p + q – 2  чисел  ¹/_p, ²/_p, ..., ^p–1/_p,  ¹/_q, ²/_q, ..., ^q–1/_q.

   Решение

Докажите, что следующие свойства выпуклого многоугольника F эквивалентны: 1) F имеет центр симметрии; 2) F можно разрезать на параллелограммы.

   Решение

Разрежьте произвольный треугольник на части, из которых можно составить треугольник, симметричный исходному относительно некоторой прямой (части переворачивать нельзя).

   Решение

Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по крайней мере два прямоугольника, причем сумма площадей всех прямоугольников равна 2.

   Решение

а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному.
б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.

   Решение

Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б) на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?

   Решение

Докажите, что если в наборе целых чисел a₁, ..., a_n хотя бы одно отлично от 0, то они имеют наибольший общий делитель.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      

Докажите, что если в наборе целых чисел a₁, ..., a_n хотя бы одно отлично от 0, то они имеют наибольший общий делитель.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольнике с целыми сторонами m и n, нарисованном на клетчатой бумаге, проведена диагональ.
  а) Через какое число узлов она проходит?
  б) На сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?

Прислать комментарий

Решение

Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок  [0, 1]  разбит на  p + q  одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из  p + q – 2  чисел  ¹/_p, ²/_p, ..., ^p–1/_p,  ¹/_q, ²/_q, ..., ^q–1/_q.

Прислать комментарий

Решение

С 1 сентября четыре школьника начали посещать кинотеатр. Первый бывал в нём каждый четвёртый день, второй – каждый пятый, третий – каждый шестой и четвёртый – каждый девятый. Когда второй раз все школьники встретятся в кинотеатре?

Прислать комментарий

Решение

В задаче 60274 доказана возможность деления с остатком произвольного целого числа a на натуральное число b.
Докажите, что из равенства  a = bq + r  следует соотношение  (a, b) = (b, r).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]