Каталог по источникам

Выбрано 12 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами F_-1, F_-2, ..., F_-n,...?

Решение

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число целое.

Решение

Может ли вершина параболы у = 4х² – 4(а + 1)х + а лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?

Решение

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

Решение

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид ^m/_n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

Решение

Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи:

а) F₁ + F₂ +...+ F_n = F_{n + 2} - 1;	в) F₂ + F₄ +...+ F_2n = F_{2n + 1} - 1;
б) F₁ + F₃ +...+ F_{2n - 1} = F_2n;	г) F₁² + F₂² +...+ F_n² = F_nF_{n + 1}.

Решение

Автор: Емельянов Л.А.

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Решение

Пусть p – простое число и представление числа n в p-ичной системе имеет вид: n = a_kp^k + a_k–1p^k–1 + ... + a₁p¹ + a₀.
Найдите формулу, выражающую показатель α_p, с которым это число p входит в каноническое разложение n!, через n, p, и коэффициенты a_k.

Решение

Докажите, что число p входит в разложение n! с показателем, не превосходящим

Решение

Точка P перемещается по описанной окружности квадрата ABCD. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая, проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP в точке X. Найдите ГМТ X.

Решение

Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр описанной окружности, K — точка Лемуана.

Решение

Существует ли такое целое число r, что является целым числом при любом n?

Решение

Задача 60559 (#03.107)

Задача 60560 (#03.108)

Задача 60561 (#03.109)

Задача 60562 (#03.110)

Задача 60563 (#03.111)