Каталог по источникам

Выбрано 25 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами F_-1, F_-2, ..., F_-n,...?

Решение

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число целое.

Решение

Может ли вершина параболы у = 4х² – 4(а + 1)х + а лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?

Решение

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

Решение

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид ^m/_n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

Решение

Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи:

а) F₁ + F₂ +...+ F_n = F_{n + 2} - 1;	в) F₂ + F₄ +...+ F_2n = F_{2n + 1} - 1;
б) F₁ + F₃ +...+ F_{2n - 1} = F_2n;	г) F₁² + F₂² +...+ F_n² = F_nF_{n + 1}.

Решение

Автор: Емельянов Л.А.

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Решение

Пусть p – простое число и представление числа n в p-ичной системе имеет вид: n = a_kp^k + a_k–1p^k–1 + ... + a₁p¹ + a₀.
Найдите формулу, выражающую показатель α_p, с которым это число p входит в каноническое разложение n!, через n, p, и коэффициенты a_k.

Решение

Докажите, что число p входит в разложение n! с показателем, не превосходящим

Решение

Точка P перемещается по описанной окружности квадрата ABCD. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая, проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP в точке X. Найдите ГМТ X.

Решение

Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр описанной окружности, K — точка Лемуана.

Решение

Существует ли такое целое число r, что является целым числом при любом n?

Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x.
Докажите, что ad = bc.

Решение

Тождество Кассини. Докажите равенство

F_{n + 1}F_{n - 1} - F_n² = (- 1)ⁿ (n > 0).

Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n?

Решение

Автор: Берлов С.Л.

Даны натуральное число n > 3 и положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство

Решение

Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка. Докажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.

Решение

Докажите равенства
а) F_{2n + 1} = F_n² + F_{n + 1}²;
б) F_{n + 1}F_{n + 2} - F_nF_{n + 3} = (- 1)^{n + 1};
в) F_3n = F_n³ + F_{n + 1}³ - F_{n - 1}³.

Решение

Автор: Фольклор

Даны радиусы r и R двух непересекающихся окружностей. Oбщие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны.
Hайдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.

Решение

Вычислите F_{n + 2}⁴ - F_nF_{n + 1}F_{n + 3}F_{n + 4}.

Решение

Автор: Заславский А.А.

В неравнобедреном треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, I' – центр окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон CB и CA; L и L' – точки, в которых сторона AB касается этих окружностей.
Докажите, что прямые IL', I'L и высота CH треугольника ABC пересекаются в одной точке.

Решение

Автор: Фольклор

Основания описанной трапеции равны 2 и 11. Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под острым углом.

Решение

Автор: Фольклор

Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?

Решение

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков– белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какие-нибудь две коробочки, в которых лежат белые шарики?

Решение

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников ABC.

Решение

О том, как прыгают кузнечики. Предположим, что имеется лента, разбитая на клетки и уходящая вправо до бесконечности. На первой клетке этой ленты сидит кузнечик. Из любой клетки кузнечик может перепрыгнуть либо на одну, либо на две клетки вправо. Сколькими способами кузнечик может добраться до n-ой от начала ленты клетки?

Решение

Задача 60559 (#03.107)

Задача 60560 (#03.108)

Задача 60561 (#03.109)

Задача 60562 (#03.110)

Задача 60563 (#03.111)