Версия для печати
Убрать все задачи

---

Незнайка утверждает, что существует восемь таких последовательных натуральных чисел, что в разложение их на простые множители каждый множитель входит в нечётной степени (например, два таких последовательных числа:  23 = 23¹  и  24 = 2³·3¹).  Прав ли он?

   Решение

---

Даны четыре попарно непараллельные прямые и точка O, не лежащая на этих прямых. Постройте параллелограмм с центром O и вершинами, лежащими на данных прямых, — по одной на каждой.

   Решение

---

Фибоначчиева система счисления. Докажите, что произвольное натуральное число n, не превосходящее F_m, единственным образом можно представит в виде

где все числа b₂, ..., b_m равны 0 либо 1, причем среди этих чисел нет двух единиц стоящих рядом, то есть b_kb_{k + 1} = 0 (2 k m - 1). Для записи числа в фибоначчиевой системе счисления используется обозначение:

   Решение

---

Докажите, что если  x + iy = (s + it)ⁿ,  то  x² + y² = (s² + t²)ⁿ.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61075  (#07.011)

Темы:   [ Комплексные числа (прочее) ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Докажите, что для произвольных комплексных чисел z> и w выполняется равенство  |z + w|² + | z – w|² = 2(|z|² + |w|²).
Какой геометрический смысл оно имеет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61076  (#07.012)

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите, что при любых вещественных a_j, b_j  (1 ≤ j ≤ n)  выполняется неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61077  (#07.013)

Тема:   [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Докажите, что если  x + iy = (s + it)ⁿ,  то  x² + y² = (s² + t²)ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61078  (#07.014)  [Тождество Диофанта]

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 2 Классы: 7,8,9,10,11

Докажите равенство   (a² + b²)(u² + v²) = (au + bv)² + (av – bu)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61079  (#07.015)

Тема:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Докажите, что квадратные корни из комплексного числа  z = a + ib  находятся среди чисел

Как нужно выбрать знак перед вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями