Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 7. Комплексные числа
>>
параграф 1. Комплексная плоскость
Фильтр
Выбрано 3 задачи Убрать все задачи
В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвертого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?
РешениеКаждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
РешениеПусть f(x) – многочлен степени n с корнями α1, ..., αn. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α1, ..., αn на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.
Решение
Задачи
Задача 61135 (#07.071) |
|
|
Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
|
|
Решение |
Задача 61136 (#07.072)[Теорема Гаусса-Люка] |
|
|
Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α1, ..., αn. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α1, ..., αn на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.
|
|
|
Решение |
Задача 61137 (#07.073) |
|
|
При каких n
а) многочлен x2n + xn + 1 делится на x² + x + 1?
б) многочлен x2n – xn + 1 делится на x² – x + 1?
|
|
|
Решение |
Задача 61138 (#07.074) |
|
|
Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение (a + 1)2n+1 + an+2 делится на a² + a + 1.
|
|
|
Решение |
Задача 61139 (#07.075) |
|
|
При каких n многочлен (x + 1)n + xn + 1 делится на:
а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?
|
|
|
Решение |
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 83]
