Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 9. Уравнения и системы
>>
параграф 1. Уравнения третьей степени
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Отрезок AL является биссектрисой треугольника ABC . Окружность радиуса 3 проходит через вершину A , касается стороны BC в точке L и пересекает сторону AB в точке K . Найдите угол BAC и площадь треугольника ABC , если BC=4 , AK:LB=3:2 .
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают
прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а)
A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то
MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).
Докажите, что если x1, x2, x3 – корни уравнения x³ + px + q = 0, то
Восстановите вписанно-описанный четырёхугольник $ABCD$ по серединам дуг $AB$, $BC$, $CD$ его описанной окружности.
Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.
Решите уравнение x³ + x – 2 = 0 подбором и по формуле Кардано.
Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения x³ + ax² + 18 = 0, x³ + bx + 12 = 0 имеют два общих корня, и определите эти корни.
Даны точки
A1,..., An. Рассмотрим окружность
радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем
окружность радиуса R с центром в центре масс точек,
лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что
этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.
Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые
нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые),
переводящиеся друг в друга параллельным переносом.
Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.
Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет
а) один корень; б) два корня; в) три различных корня; г) три совпадающих корня.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
Задача 61272 (#09.021) |
|
|
Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет
а) один корень; б) два корня; в) три различных корня; г) три совпадающих корня.
|
|
Решение |
Задача 61273 (#09.022) |
|
|
Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p, q), для которых все корни уравнения x³ + px + q = 0 не превосходят по модулю 1.
|
|
Решение |
Задача 61274 (#09.023) |
|
|
Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет три различных корня, принадлежащих интервалу (–2, 4).
|
|
|
Решение |
Задача 61275 (#09.024)[Метод Виета] |
|
|
Когда 4p³ + 27q² < 0, уравнение x³ + px + q = 0 имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
а) Докажите, что при p < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = kt сводится к уравнению 4t³ – 3t – r = 0 (*) от переменной t.
б) Докажите, что при 4p³ + 27q² ≤ 0 решениями уравнения (*) будут числа t1 = cos, t2 = cos
, t3 = cos
, где φ = arccos r.
|
|
|
Решение |
Задача 61276 (#09.025) |
|
|
Решите уравнения
а) x³ – 3x – 1 = 0;
б) x³ – 3x – = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
