Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Отрезок AL является биссектрисой треугольника ABC . Окружность радиуса 3 проходит через вершину A , касается стороны BC в точке L и пересекает сторону AB в точке K . Найдите угол BAC и площадь треугольника ABC , если BC=4 , AK:LB=3:2 .

Вниз   Решение


На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а) A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если x1, x2, x3 – корни уравнения  x³ + px + q = 0, то  

ВверхВниз   Решение


Восстановите вписанно-описанный четырёхугольник $ABCD$ по серединам дуг $AB$, $BC$, $CD$ его описанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

ВверхВниз   Решение


Решите уравнение  x³ + x – 2 = 0  подбором и по формуле Кардано.

ВверхВниз   Решение


Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения  x³ + ax² + 18 = 0,   x³ + bx + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

ВверхВниз   Решение


Даны точки A1,..., An. Рассмотрим окружность радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса R с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.

ВверхВниз   Решение


Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.

ВверхВниз   Решение


Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых уравнение  x³ + px + q = 0  имеет
  а) один корень;   б) два корня;   в) три различных корня;   г) три совпадающих корня.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 61272  (#09.021)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых уравнение  x³ + px + q = 0  имеет
  а) один корень;   б) два корня;   в) три различных корня;   г) три совпадающих корня.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61273  (#09.022)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых все корни уравнения  x³ + px + q = 0  не превосходят по модулю 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61274  (#09.023)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек  (p, q),  для которых уравнение  x³ + px + q = 0  имеет три различных корня, принадлежащих интервалу  (–2, 4).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61275  (#09.024)

 [Метод Виета]
Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Когда  4p³ + 27q² < 0,  уравнение  x³ + px + q = 0  имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
  а) Докажите, что при  p < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = kt  сводится к уравнению  4t³ – 3t – r = 0   (*)  от переменной t.
  б) Докажите, что при  4p³ + 27q² ≤ 0  решениями уравнения (*) будут числа  t1 = cos,   t2 = cos,   t3 = cos,  где  φ = arccos r.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61276  (#09.025)

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрические уравнения ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Решите уравнения
  а)  x³ – 3x – 1 = 0;
  б)  x³ – 3x = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .