Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите неравенство  xαyβ ≤ αx + βy  для положительных значений переменных при условии, что  α + β = 1  (α, β > 0).

Вниз   Решение


Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине A треугольника ABC пересекают прямую BC в точках P и Q.
Докажите, что окружность, построенная на отрезке PQ как на диаметре, проходит через точку A.

ВверхВниз   Решение


a, b, c ≥ 0.  Докажите, что  (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.

ВверхВниз   Решение


Все углы треугольника ABC меньше  120o. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом  120o.


ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a²b² + b²c² + a²c² ≥ abc(a + b + c).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a4 + b4 + c4abc(a + b + c).

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны три вектора a, b, c, причем $ \alpha$a + $ \beta$b + $ \gamma$c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$ \alpha$|, |$ \beta$|, |$ \gamma$| можно составить треугольник.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A, B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.

ВверхВниз   Решение


Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хорды AB. Для каждой окружности S', касающейся хорды AB в точке C и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство Чебышёва     при условии, что   a1a2 ≥ ... ≥ an   и
b1b2 ≥ ... ≥ bn.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 76]      



Задача 61382  (#10.031)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите неравенство для положительных значений переменных:  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61383  (#10.032)

Тема:   [ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Докажите для положительных значений переменных неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61384  (#10.033)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите неравенство   3(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≥ (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3)  при  a1a2a3b1b2b3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61385  (#10.034)

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Инварианты и полуинварианты ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если   a1a2 ≥ ... ≥ an,   b1b2 ≥ ... ≥ bn,   то наибольшая из сумм вида   a1bk1 + a2bk2 + ... + anbkn     (k1, k2, ..., kn – перестановка чисел
1, 2, ..., n),  это сумма   a1b1 + a2b2 + ... + anbn,   а наименьшая – сумма   a1bn + a2bn–1 + ... + anb1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61386  (#10.035)

 [Неравенство Чебышёва]
Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите неравенство Чебышёва     при условии, что   a1a2 ≥ ... ≥ an   и
b1b2 ≥ ... ≥ bn.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 76]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .