Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?

Решение

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x_{1, 2} = a±ib = re^±i. Докажите, что для некоторой пары чисел c₁, c₂ будет выполняться равенство

a_n = rⁿ(c₁cos n $\displaystyle \varphi$ + c₂sin n $\displaystyle \varphi$ ).

Решение

Докажите, что если ∠BAC = 2∠ABC, то BC² = (AC + AB)·AC.

Решение

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине.
а) M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что ∠B₁MC₁ = φ.
б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

Решение

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF = AO : CO.

Решение

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.

Решение

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

Решение

Определим последовательности {x_n} и {y_n} при помощи условий:

x_n = x_{n - 1} + 2y_{n - 1}sin² $\displaystyle \alpha$ , y_n = y_{n - 1} + 2x_{n - 1}cos² $\displaystyle \alpha$ ; x₀ = 0, y₀ = cos $\displaystyle \alpha$ .

Найдите выражение для x_n и y_n через n и $\alpha$ .

Решение

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?

Решение

Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Решение

Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

Решение

Найти наибольшее значение, которое может принимать выражение aek – afh + bfg – bdk + cdh – ceg, если каждое из чисел a, b, c, d, e, f, g, h, k равно ±1.

Решение

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $\beta$ , что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$ .

Решение

Задача 61473 (#11.046)

Задача 61474 (#11.047)

Задача 61475 (#11.048)

Задача 61476 (#11.049)

Задача 61477 (#11.050)