Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.

Вниз   Решение


Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   xn+1 = xn = .  Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

ВверхВниз   Решение


В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

ВверхВниз   Решение


Пусть многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  имеет корни  x1, x2, ..., xn,  причем  |x1| > |x2| > ... > |xn|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P0(x), P1(x), P2(x), ...,  что  P0(x) = P(x)  и многочлен Pk(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  
Числа Pkl(n) определены в задаче 61525.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 100]      



Задача 61524  (#11.097)

Тема:   [ Многочлены Гаусса ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите сумму  Sl(x) = g0,l(x) – g1,l–1(x) + g2,l–2(x) – ... + (–1)lgl,0(x).
Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61525  (#11.098)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Обозначим через Pk,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
  а)  Pk,l(n) – Pk,l–1(n) = Pk–1,l(n – l);
  б)  Pk,l(n) – Pk–1,l(n) = Pk,l–1(nk);
  в)  Pk,l(n) = Pl,k(n);
  г)  Pk,l(n) = Pk,l(kl – n).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61526  (#11.099)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Многочлены Гаусса ]
[ Производящие функции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

  Пусть fk,l(x) – производящая функция последовательности Pk,l(n) из задачи 61525:   fk,l(x) = Pk,l(0) + xPk,l(1) + ... + xklPk,l(kl).

  а) Докажите равенства:  fk,l(x) = fk–1,l(x) + xkfk,l–1(x) = fk,l–1(x) + xlfk–1,l(x).

  б) Докажите, что функции fk,l(x) совпадают с многочленами Гаусса gk,l(x) (определение многочленов Гаусса смотри здесь).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61527  (#11.100)

Темы:   [ Многочлены Гаусса ]
[ Раскладки и разбиения ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что при любых k и l многочлен gk,l(x) является возвратным, то есть  
(Определение многочленов Гаусса см. здесь.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 61528  (#11.101)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что  
Числа Pkl(n) определены в задаче 61525.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 100]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .