Версия для печати
Убрать все задачи

---

Клетки квадрата 9×9 окрашены в красный и белый цвета. Докажите, что найдётся или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, или клетка, у которой ровно два белых соседа по углу (или и то, и другое).

   Решение

---

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1.
  а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
  б) А квадрат площади ¹/₂₀₁₉?

   Решение

---

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin(/2)sin(/2)sin(/2) = r/4R;
б)  tg(/2)tg(/2)tg(/2) = r/p;
в)  cos(/2)cos(/2)cos(/2) = p/4R.

   Решение

---

Точка F – середина стороны BC квадрата ABCD. К отрезку DF проведён перпендикуляр AE. Найдите угол CEF.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64545  (#10.1)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3

Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13.
Найдите 2013-й член последовательности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64546  (#10.2)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3

Корни квадратного трёхчлена  f(x) = x² + bx + c  равны m₁ и m₂, а корни квадратного трёхчлена  g(x) = x² + px + q  равны k₁ и k₂.
Докажите, что  f(k₁) + f(k₂) + g(m₁) + g(m₂) ≥ 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64547  (#10.3)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+

Точка F – середина стороны BC квадрата ABCD. К отрезку DF проведён перпендикуляр AE. Найдите угол CEF.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64548  (#10.4)

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 3+

Найдите наибольшее значение выражения  a + b + c + d – ab – bc – cd – da,  если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку  [0, 1].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64549  (#10.5)

Темы:   [ Точка Торричелли ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки подобия ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4-

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K, а на стороне AC – точка M. Отрезки BM и CK пересекаются в точке P. Оказалось, что углы APB, BPC и CPA равны по 120°, а площадь четырёхугольника AKPM равна площади треугольника BPC. Найдите угол BAC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями