Числа x, y и z таковы, что все три числа  x + yz,  y + zx  и  z + xy  рациональны, а  x² + y² = 1.  Докажите, что число xyz² также рационально.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

На стороне AB треугольника ABC выбраны точки C₁ и C₂. Аналогично на стороне BC выбраны точки A₁ и A₂, а на стороне AC – точки B₁ и B₂. Оказалось, что отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и угол между каждыми двумя из них равен 60°. Докажите, что   .

Прислать комментарий

Решение

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM),  ∠(LMB, LMN),  ∠(MNC, MNK)  и  ∠(NKD, NKL)  равны. (Через  ∠(PQR, PQS)  обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Число x таково, что среди четырёх чисел     ровно одно не является целым.
Найдите все такие x.

Прислать комментарий

Решение

На доске написано уравнение  x³ + *x² + *x + * = 0.  Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася – любую из двух оставшихся, а затем Петя – оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?

Прислать комментарий

Решение

Числа x, y и z таковы, что все три числа  x + yz,  y + zx  и  z + xy  рациональны, а  x² + y² = 1.  Докажите, что число xyz² также рационально.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]