Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская устная олимпиада по геометрии
>>
12 (2014 год)
>>
10-11 класс
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Доказать: произведение
а) двух нечётных чисел нечётно;
б) чётного числа с любым целым числом чётно.
Существует ли выпуклый пятиугольник, в котором каждая диагональ равна какой-то стороне?
Братья Петя и Вася решили снять смешной ролик и выложить его в интернет. Сначала они сняли, как каждый из них идёт из дома в школу — Вася шёл 8 минут, а Петя шёл 5 минут. Потом пришли домой и сели за компьютер монтировать видео: они запустили одновременно Васино видео с начала и Петино видео с конца (в обратном направлении); в момент, когда на обоих роликах братья оказались в одной и той же точке пути, они склеили Петино видео с Васиным. Получился ролик, на котором Вася идёт из дома в школу, а потом в какой-то момент вдруг превращается в Петю и идёт домой задом наперёд. А какой длительности получился ролик?
Можно ли правильную треугольную призму разрезать на две равные пирамиды?
Занумеруем все простые числа в порядке возрастания: p1 = 2, p2 = 3, ... .
Может ли среднее арифметическое при каком-нибудь n ≥ 2 быть простым числом?
Диагонали трапеции ABCD перпендикулярны. Точка M – середина боковой стороны AB, точка N симметрична центру описанной окружности треугольника ABD относительно прямой AD. Докажите, что ∠CMN = 90°.
В треугольнике ABC ∠A = 45°, BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.
Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.
Даны натуральные числа a и b, причём a < 1000. Докажите, что если a21 делится на b10, то a² делится на b.
Даны треугольник ABC (AB > AC) и описанная около него окружность. Постройте циркулем и линейкой середину дуги BC (не содержащей вершину A), проведя не более двух линий.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели биссектрисы AK и BN, на которые опустили перпендикуляры CD и CE из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка DE равна радиусу вписанной окружности.
В трапеции ABCD BC < AD, AB = CD, K – середина AD, M – середина CD, CH – высота.
Докажите, что прямые AM, CK и BH пересекаются в одной точке.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 64755 (#1) |
|
|
В трапеции ABCD BC < AD, AB = CD, K – середина AD, M – середина CD, CH – высота.
Докажите, что прямые AM, CK и BH пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 64756 (#2) |
|
|
Можно ли правильную треугольную призму разрезать на две равные пирамиды?
|
|
|
Решение |
Задача 64757 (#3) |
|
|
Биссектрисы AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Описанные окружности треугольников AIC1 и CIA1 повторно пересекают дуги AC и BC (не содержащие точек B и A соответственно) описанной окружности треугольника ABC в точках C2 и A2 соответственно. Докажите, что прямые A1A2 и C1C2 пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.
|
|
Решение |
Задача 64758 (#4) |
|
|
Медианы AA0, BB0 и CC0 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, а высоты AA1, BB1 и CC1 – в точке H. Касательная к описанной окружности треугольника A1B1C1 в точке C1 пересекает прямую A0B0 в точке C'. Точки A' и B' определяются аналогично. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой MH.
|
|
|
Решение |
Задача 64759 (#5) |
|
Дан правильный треугольник ABC, площадь которого равна 1, и точка P на его описанной окружности. Прямые AP, BP, CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Найдите площадь треугольника A'B'C'.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
