Версия для печати
Убрать все задачи

---

На окружности ω c центром O фиксированы точки A и C. Точка B движется по дуге AC. Точка P – фиксированная точка хорды AC. Прямая, проходящая через P параллельно AO, пересекает прямую BA в точке A₁; прямая, проходящая через P параллельно CO, пересекает прямую BC в точке C₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁BC₁ движется по прямой.

   Решение

---

Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65007  (#6)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На стороне BC равностороннего треугольника ABC взяты такие точки M и N (M лежит между B и N) , что  ∠MAN = 30°.  Описанные окружности треугольников AMC и ANB пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK содержит центр описанной окружности треугольника AMN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65008  (#7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Удвоение медианы ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что  O₁M = O₂M.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65009  (#8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки I_b и I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LI_bI_c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65010  (#9)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Четность и нечетность ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65011  (#10)

Темы:   [ Построения с помощью двусторонней линейки ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Трапеции (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями