Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65017  (#16)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки подобия ] [ Теорема Птолемея ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65018  (#17)

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Симметрия и построения ] [ Метод ГМТ ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65019  (#18)

Темы:   [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G.
Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65020  (#19)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точки C' и D' диаметрально противоположны точкам C и D соответственно. Касательные к окружности в точках C' и D' пересекают прямую AB в точках E и F (A лежит между E и B, B – между A и F). Прямая EO пересекает стороны AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает стороны AD и BD в точках U и V. Докажите, что  XV = YU.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65021  (#20)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Проективная геометрия (прочее) ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Пусть A₂, B₂ – середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ соответственно, O – центр описанной окружности треугольника ABC, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA₂ и PB₂ вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями