Версия для печати
Убрать все задачи

---

В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу и любые три из оставшихся – на правую, левая чаша перевесит. Три слона встали на левую чашу и два – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?

   Решение

---

Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?

   Решение

---

Продолжения медиан AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC₀, AB₀C и A₀BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65119  (#11.1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Целые числа a, x₁, x₂, ..., x₁₃ таковы, что  a = (1 + x₁)(1 + x₂)...(1 + x₁₃) = (1 – x₁)(1 – x₂)...(1 – x₁₃).  Докажите, что  ax₁x₂...x₁₃ = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65126  (#11.2)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65127  (#11.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Продолжения медиан AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC₀, AB₀C и A₀BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65122  (#11.4)

Темы:   [ Иррациональные неравенства ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению  ab + bc + ca = 1.  Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65128  (#11.5)

Тема:   [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Квадратный трёхчлен  f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство  f(a² + b²) ≥ f(2ab).
Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями