Фильтр
Выбрано 25 задач Убрать все задачи
Докажите, что площадь треугольника, стороны которого
равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.
Решите уравнение a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + 2/5 = 0.
Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?
В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN. Докажите, что АР = ВС.
а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи
F(x) = F0 + F1x + F2x² + ... + Fnxn + ...
может быть записана в виде где
=
,
=
.
б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.
Вычислите производящие функции следующих
последовательностей:
| а) an = n; б) an = n2; в) an = Cmn. |
Докажите, что степень точки P относительно
окружности S равна d2 - R2, где R — радиус S, d — расстояние от
точки P до центра S.
Функции a, b и c заданы рядами
Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.
Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S1, S2, S3. Найдите площадь S данного треугольника.
Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?
Садовник, привив черенок редкого растения,
оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по
6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично.
Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста
первоначального растения?
Найдите у чисел а) (6 + )1999; б) (6 +
)1999; в) (6 +
)2000 первые 1000 знаков после запятой.
Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
a) характеристическое уравнение имеет простые корни
x1,..., xk, отличные от нуля;
б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни x1, ..., xm с кратностями α1, ..., αm соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в
справочнике.
Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $MN\parallel AC$. Точки $M'$ и $N'$ симметричны соответственно точкам $M$ и $N$ относительно сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $M'A$ пересекает $BC$ в точке $X$, а $N'C$ пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что точки $A$, $C$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.
В треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $M$ – середина $AB$. Прямая $MH$ пересекает прямую, проходящую через $O$ и параллельную $AB$, в точке $K$, лежащей на описанной окружности треугольника. Точка $P$ – проекция $K$ на $AC$. Докажите, что $PH\parallel BC$.
Докажите, что при всех натуральных n
выполняется сравнение
[(1 + )n]
n(mod 2).
На рисунке изображен график функции y = (a² – 1)(x² – 1) + (a – 1)(x – 1). Найдите координаты точки А.
Докажите, что для точки P, лежащей вне окружности S,
ее степень относительно S равна квадрату длины касательной,
проведенной из этой точки.
Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство
а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами
сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны,
то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины
противоположных сторон.
Внутри прямого угла с вершиной $O$ расположен треугольник $OAB$ с прямым углом $A$. Высота треугольника $OAB$, опущенная на гипотенузу, продолжена за точку $A$ до пересечения со стороной угла $O$ в точке $M$. Расстояния от точек $M$ и $B$ до второй стороны угла $O$ равны $2$ и $1$ соответственно. Найдите $OA$.
В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла. Из вершины В большего острого угла проведён отрезок BK так, что ∠CBK = ∠CАB (см. рис.). Докажите, что СН делит BK пополам.
Три окружности попарно касаются внешним образом
в точках A, B и C. Докажите, что описанная окружность
треугольника ABC перпендикулярна всем трем окружностям.
Существует ли выпуклый четырёхугольник, каждая диагональ которого делит его на два остроугольных треугольника?
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 557]
Задача 64991 |
|
|
В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла. Из вершины В большего острого угла проведён отрезок BK так, что ∠CBK = ∠CАB (см. рис.). Докажите, что СН делит BK пополам.
|
|
Решение |
Задача 65169 |
|
|
На рисунке изображен график функции y = (a² – 1)(x² – 1) + (a – 1)(x – 1). Найдите координаты точки А.
|
|
|
Решение |
Задача 65170 |
|
|
Существует ли выпуклый четырёхугольник, каждая диагональ которого делит его на два остроугольных треугольника?
|
|
|
Решение |
Задача 65212 |
|
|
Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?
|
|
|
Решение |
Задача 65213 |
|
|
В четырёхугольнике ABCD биссектрисы АЕ и СF углов A и C параллельны (см. рисунок). Докажите, что углы B и D равны.
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 557]
