Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 65243 (#10.2)

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Якубов А.

Дан параллелограмм ABCD, в котором AB < AC < BC. Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что ∠ABF = ∠DCE. Найдите угол ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65251 (#11.2)

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Пусть n > 1 – натуральное число. Выпишем дроби ¹/_n, ²/_n, ..., ^n–1/_n и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через f(n). При каких натуральных n > 1 числа f(n) и f(2015n) имеют разную чётность?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65113 (#9.3)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Дмитриев О., Женодаров Р.Г.

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа n, n + 1, ..., n + 8. При каких n он сможет это сделать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65121 (#10.3)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Пусть AL – биссектриса треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезкуAL пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC, в точках P и Q. Докажите, что описанная окружность треугольника PLQ, касается стороны BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65127 (#11.3)

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Якубов А.

Продолжения медиан AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC₀, AB₀C и A₀BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]