Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 65242 (#10.1)

Тема:

[

Тождественные преобразования

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

Назовём натуральное число почти квадратом, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел.
Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65243 (#10.2)

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Якубов А.

Дан параллелограмм ABCD, в котором AB < AC < BC. Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что ∠ABF = ∠DCE. Найдите угол ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65244 (#10.3)

Темы:	[	Ориентированные графы	]
	[	Отношение порядка	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трёх участников A, B, C не нашлось трёх судей, один из которых считает, что A – лучший из трёх, а B – худший, другой – что B лучший, а C худший, а третий – что C лучший, а A худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для каждых двух участников A и B тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65245 (#10.4)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Антропов А.

Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что a_n = a и a_i+1 = a_i – S(a_i) при всех i = 0, 1, ..., n – 1. Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65246 (#10.5)

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Волченков С.Г.

Известно, что клетчатый квадрат можно разрезать на n одинаковых фигурок из k клеток.
Докажите, что его можно разрезать и на k одинаковых фигурок из n клеток.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]