Версия для печати
Убрать все задачи

---

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

   Решение

---

Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа  x + y,  x – y,  xy и ^x/_y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65562  (#1)

Тема:   [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Функции  f и g определены на всей числовой прямой и взаимно обратны. Известно, что  f представляется в виде суммы линейной и периодической функций:  f(x) = kx + h(x),  где k – число, h – периодическая функция. Доказать, что g также представляется в таком виде.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65563  (#2)

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней. Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней. Второй каждым своим ходом берёт m или n камней. Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Известно, что при любом начальном количестве камней первый всегда может играть так, чтобы выиграть (при любой игре второго). Какими могут быть m и n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65558  (#3)

Темы:   [ Средние величины ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа  x + y,  x – y,  xy и ^x/_y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65564  (#4)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Окружность с центром I лежит внутри окружности с центром O. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников IAB, где AB – хорда большей окружности, касающаяся меньшей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65561  (#5)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Пусть A и B – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных A, сложили прямоугольник, подобный B.
Докажите, что из прямоугольников, равных B, можно сложить прямоугольник, подобный A.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями