Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружности S₁ и S₂ касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек пересечения окружностей S₁ и S₂ лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S₁ и S₂ равна радиусу окружности S.

   Решение

---

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?

   Решение

---

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

   Решение

---

Все натуральные числа выписали подряд без промежутков на бесконечную ленту: 123456789101112... Затем ленту разрезали на полоски по 7 цифр в каждой. Докажите, что любое семизначное число
  a) встретится хотя бы на одной из полосок;
  б) встретится на бесконечном числе полосок.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65572  (#1)

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

На координатной плоскости нарисованы четыре графика функций вида  y = x² + ax + b,  где a, b – числовые коэффициенты. Известно, что есть ровно четыре точки пересечения, причём в каждой пересекаются ровно два графика. Докажите, что сумма наибольшей и наименьшей из абсцисс точек пересечения равна сумме двух других абсцисс.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65573  (#2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Все натуральные числа выписали подряд без промежутков на бесконечную ленту: 123456789101112... Затем ленту разрезали на полоски по 7 цифр в каждой. Докажите, что любое семизначное число
  a) встретится хотя бы на одной из полосок;
  б) встретится на бесконечном числе полосок.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65570  (#3)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан квадрат ABCD, M и N – середины сторон BC и AD. На продолжении диагонали AC за точку A взяли точку K. Отрезок KM пересекает сторону AB
в точке L. Докажите, что углы KNA и LNA равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65571  (#4)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В некотором городе каждая улица идет либо с севера на юг, либо с востока на запад. Автомобилист совершил прогулку по этому городу, сделав ровно сто поворотов налево. Сколько поворотов направо он мог сделать при этом, если никакое место он не проезжал дважды и в конце вернулся назад?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65574  (#5)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями