Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 65741 (#9.1)

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Полуинварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Жуков Г.

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера a×b дать либо ковёр размера ¹/_a×¹/_b, либо два ковра размеров c×b и ^a/_c×b (при каждом таком обмене число c клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера a×b считать ковром размера b×a.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 65742 (#9.2)

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Кожевников П.А.

Окружность ω касается сторон угла BAC в точках B и C. Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность ω пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что KS || AC и LT || AB. Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65743 (#9.3)

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кузнецов А.

Саша выбрал натуральное число N > 1 и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: d₁ < ... < d_s (так что d₁ = 1 и
d_s = N). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных s – 1 чисел оказалась равной
N – 2. Какие значения могло принимать N?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65744 (#9.4)

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида Т – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 65745 (#9.5)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]