Версия для печати
Убрать все задачи

---

a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66171  (#1)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Инварианты ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На доске написаны в порядке возрастания два натуральных числа x и y  (x ≤ y).  Петя записывает на бумажке x² (квадрат первого числа), а затем заменяет числа на доске числами x и  y – x,  записывая их в порядке возрастания. С новыми числами на доске он проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66172  (#2)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Кооперативные алгоритмы ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Известно, что вруны всегда врут, правдивые всегда говорят правду, а хитрецы могут и врать, и говорить правду. Вы можете задавать вопросы, на которые есть ответ "да" или "нет" (например: "верно ли, что этот человек – хитрец?").
  a) Перед вами трое – врун, правдивый и хитрец, которые знают, кто из них кто. Как и вам это узнать?
  б) Перед вами четверо – врун, правдивый и два хитреца (все четверо знают, кто из них кто). Докажите, что хитрецы могут договориться отвечать так, что вы, спрашивая этих четверых, ни про кого из них не узнаете наверняка, кто он.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66173  (#3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110860  (#4)

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На продолжении стороны BC треугольника ABC за вершину B отложен отрезок BB', равный стороне AB. Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке M. Докажите, что точки A, B', C и M лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66175  (#5)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На какое наибольшее число равных невыпуклых многоугольников можно разрезать квадрат так, чтобы все стороны многоугольников были параллельны сторонам квадрата и никакие два из этих многоугольников не получались друг из друга параллельным переносом?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями