Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 66186 (#1)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Женодаров Р.Г.

Клетки доски 9×9 раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета (угловые клетки белые). Какое наименьшее число ладей нужно поставить на эту доску, чтобы все белые клетки оказались под боем этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 66187 (#2)

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Женодаров Р.Г.

Многочлен x³ + px² + qx + r имеет на интервале (0, 2) три корня. Докажите, что – 2 < p + q + r < 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66188 (#3)

Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Поворот (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Женодаров Р.Г.

Прямая касается окружности в точке A. На прямой выбрали точку B и повернули отрезок AB на некоторый угол вокруг центра окружности, получив отрезок A'B'. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания A и A', делит пополам отрезок BB'.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66189 (#4)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Последовательность нулей и единиц строится следующим образом: на k-м месте ставится ноль, если сумма цифр числа k чётна, и единица, если сумма цифр числа k нечётна. Докажите, что эта последовательность непериодична.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66190 (#5)

Темы:	[	Наглядная геометрия	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Скопенков М.Б.

а) Торт имеет форму тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в 2 раза больше одного из острых углов. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку?

б) Та же задача для торта, имеющего форму треугольника с углами 20°, 30°, 130°.

(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]