Версия для печати
Убрать все задачи

---

  а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

  б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

  в) Среди решений уравнения  x₁ + x₂ + ... + x_k = m  в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73704  (#М169)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Пусть k и n – натуральные числа,  k ≤ n.  Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была  а) наименьшей;  б) наибольшей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73706  (#М171)

Темы:   [ Построения одной линейкой ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Правильные многоугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи одной только линейки постройте отрезок, длина которого равна  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60750  (#М172)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что при любом простом  p     делится на p.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73708  (#М173)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73710  (#М175)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Задачи с ограничениями ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

  а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

  б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

  в) Среди решений уравнения  x₁ + x₂ + ... + x_k = m  в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями