Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 48]
Задача
73686
(#М151)
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9
|
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как
2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Задача
73687
(#М152)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1.
Докажите, что если am + bm делится на an + bn, то m делится на n.
Задача
73688
(#М153)
|
|
Сложность: 7+
|
Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:
**** – ****.
Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что
а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;
б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.
Задача
73689
(#М154)
|
|
Сложность: 6+
Классы: 8,9,10
|
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:
- некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
- некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Задача
73692
(#М157)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел 
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 48]
Фильтр
