Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ₀ касается всех окружностей γ₁, ..., γ_n; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁ и γ₂, γ₂ и γ₃, ..., γ_n и γ₁. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

   Решение

---

Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.

   Решение

---

Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73806  (#М271)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73808  (#М273)

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ] [ Индукция (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x₁ и x₂, сумма которых не превосходит 1, величина f (x₁ + x₂) не превосходит суммы величин f(x₁) и f(x₂).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x₂) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x₂) ≤ 1,9x?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73809  (#М274)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Найдите наименьшее число вида   а)  |11^k – 5ⁿ|;   б)  |36^k – 5ⁿ|;   в)  |53^k – 37ⁿ|,  где k и n – натуральные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73810  (#М275)

Темы:   [ Неравенства с векторами ] [ Вспомогательные проекции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Скалярное произведение ] [ Условная сходимость ]

Сложность: 9 Классы: 9,10,11

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями