- 7,8 класс, 1 тур (5 задач)
- 9,10 класс, 1 тур (5 задач)
- 7,8 класс, 2 тур (6 задач)
- 9,10 класс, 2 тур (6 задач)
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
В треугольнике ABC, площадь которого равна 1, на медиане BK
взята точка M, причём MK = ¼ BK. Прямая AM пересекает сторону BC в точке L.
Найдите площадь треугольника ALC.
Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб, сторона которого равна 60. Плоскость диагонального сечения, проходящая через большую диагональ основания, перпендикулярна плоскости основания. Площадь этого сечения равна 7200. Найдите меньшую диагональ основания, если боковое ребро равно 80 и образует с плоскостью основания угол 60o .
Многоугольник, описанный около окружности радиуса r,
разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма
радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
Длины сторон треугольника образуют арифметическую
прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности
равен трети одной из высот треугольника.
Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD,
проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB
(точки P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA
соответственно). Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в
одной точке.
В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, вневписанная окружность с центром $I_A$ касается стороны $BC$ в точке $A'$. Через $I$ проведена прямая $l\perp BI$. Оказалось, что $l$ пересекает $I_AA'$ в точке $K$, лежащей на средней линии, параллельной $BC$. Докажите, что $\angle B\leq 60^{\circ}$.
Доказать, что квадрат любого простого числа p > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.
Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an, принимающий при x = 0 и x = 1 нечётные значения, не имеет целых корней.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]
Задача 76483 |
|
|
Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.
|
|
Решение |
Задача 76485 |
|
|
Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an, принимающий при x = 0 и x = 1 нечётные значения, не имеет целых корней.
|
|
Решение |
Задача 76487 |
|
|
Решить уравнение:
|
|
|
Решение |
Задача 76493 |
|
|
Доказать, что квадрат любого простого числа p > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.
|
|
|
Решение |
Задача 76498 |
|
|
Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]
