Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]

Задача 76527

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
Темы:	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В шахматном турнире участвовали два ученика 7 класса и некоторое число учеников 8 класса. Два семиклассника набрали 8 очков, а каждый из восьмиклассников набрал одно и то же число очков. Сколько восьмиклассников участвовало в турнире? (Каждый из участников турнира играет с каждым из остальных по одной партии. За выигрыш даётся 1 очко, за ничью – ½ очка, за проигрыш – 0 очков.)

Решение

Пусть x – число восьмиклассников, y – число очков, набранных каждым восьмиклассником. Подсчитывая двумя способами сумму очков, набранных всеми участниками турнира, приходим к уравнению xy + 8 = , то есть 2y = = x + 3 – .
Поэтому x принимает одно из значений 1, 2, 7, 14. Значения 1 и 2 отпадают, поскольку в этих случаях число y < 0.
При x = 7 получаем y = 4. Такой турнир возможен: например, все партии завершились вничью; тогда каждый участник набрал по 4 очка.
При x = 14 получаем y = 8. Такой турнир также возможен: например, один из семиклассников все партии проиграл, а все остальные встречи завершились вничью; тогда каждый участник, кроме последнего, набрал по 8 очков.

Ответ

7 или 14.

Прислать комментарий

Задача 76531

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Проективная плоскость с конечным числом точек	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автобусная сеть города устроена следующим образом:
1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;
3) на каждом маршруте ровно три остановки.
Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)

Решение

Пусть a – один из маршрутов, B – остановка, через которую маршрут a не проходит. Каждый маршрут, проходящий через B, пересекает маршрут a. При этом два разных маршрута, проходящих через B, пересекают a по разным остановкам (иначе они имели бы две общие остановки, что противоречит условию 2). Поэтому через B проходит ровно три маршрута.
На каждом из них есть по две остановки, отличных от B. Значит, всего в городе 7 остановок. Через каждую пару остановок (а их 21) проходит единственный маршрут, при этом на каждом маршруте – три пары остановок. Следовательно, всего маршрутов 21 : 3 = 7.

Ответ

7 маршрутов.

Прислать комментарий

Задача 76532

Тема:

[

Турниры и турнирные таблицы

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В шахматном турнире участвовали ученики 9 и 10 классов. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, и они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько очков набрали девятиклассники?

Решение

Пусть в турнире участвовало x девятиклассников. Тогда всего было 11x участников и они набрали ½ 11x(11x – 1) очков. По условию отношение числа очков, набранных девятиклассниками, к числу очков, набранных десятиклассниками, равно 1 : 4,5. Поэтому девятиклассники набрали
x(11x – 1) очков, а значит, каждый из девятиклассников выиграл все 11x – 1 партий, которые он сыграл. Если бы среди участников турнира было два девятиклассника, то партию между собой они должны были оба выиграть, что невозможно. Поэтому в турнире участвовал один девятиклассник; он набрал 10 очков.

Ответ

10 очков.

Прислать комментарий

Задача 76518

Темы:	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На прямой даны 3 точки A, B, C. На отрезке AB построен равносторонний треугольник ABC₁, на отрезке BC построен равносторонний треугольник BCA₁. Точка M — середина отрезка AA₁, точка N — середина отрезка CC₁. Доказать, что треугольник BMN — равносторонний. (Точка B лежит между точками A и C; точки A₁ и C₁ расположены по одну сторону от прямой AB.)

Решение

При повороте на угол 60^o вокруг точки B отрезок CC₁ переходит в отрезок A₁A, поэтому точка N переходит в точку M.

Прислать комментарий

Задача 76522

Темы:	[	Углы между прямыми и плоскостями	]
	[	Задачи на максимум и минимум (прочее)	]
	[	Ортогональная проекция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

В пространстве даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$ . На линии их пересечения дана точка A. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости $\alpha$ и проходящих через точку A, наибольший угол с плоскостью $\beta$ образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ .

Решение

Пусть l — прямая, лежащая в плоскости $\alpha$ и проходящая через точку A. Отложим на прямой l отрезок AB длины 1. Пусть B' — проекция точки B на плоскость $\beta$ , O — проекция точки B на линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ . Тогда sin BAB' = BB' = OB sin BOB' = sin BAO sin BOB'. При этом sin BOB' — синус угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ ; этот угол фиксирован. Поэтому sin BAB' максимален, когда $\angle$ BAO = 90^o.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]