Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1952 год >> 9 класс, 1 тур
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Из точки, не лежащей в плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и три наклонные, проекции которых на данную плоскость равны a, b и c. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные образуют с плоскостью углы, сумма которых равна 90°.

Вниз   Решение

Дана окружность, её диаметр AB и точка C на этом диаметре. Постройте на окружности две точки X и Y, симметричные относительно диаметра AB, для которых прямая YC перпендикулярна прямой XA.

ВверхВниз   Решение

Вычислить с шестьюдесятью десятичными знаками     (60 девяток).

ВверхВниз   Решение

Для любого натурального числа K существует бесконечно много натуральных чисел Т, не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифр числа KТ равна сумме цифр числа Т. Докажите это.

ВверхВниз   Решение

Найдите соотношение между

arcsin cos arcsin x  и  arccos sin arccos x.

ВверхВниз   Решение

В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к прямой SO.

ВверхВниз   Решение

Если при любом положительном p все корни уравнения  ax² + bx + c + p = 0  действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.

ВверхВниз   Решение

Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

Задача 77944  (#1)

Тема:   [ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.
Прислать комментарий     Решение

Задача 77945  (#2)

Темы:   [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]
[ Перпендикулярные прямые в пространстве ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11

Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
Прислать комментарий     Решение

Задача 77946  (#3)

Тема:   [ Неравенства с модулями ]
Сложность: 3-
Классы: 10,11

Докажите, что

$\displaystyle \left\vert\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right.$$\displaystyle {\frac{x-y}{1-xy}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right\vert$ < 1,

если | x| < 1 и | y| < 1.
Прислать комментарий     Решение

Задача 77947  (#4)

Темы:   [ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

$ \Delta$ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в $ \Delta$ABD и $ \Delta$DBC, больше радиуса окружности, вписанной в $ \Delta$ABC.
Прислать комментарий     Решение

Задача 77948  (#5)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом: a1 — произвольное трёхзначное число, a2 — сумма квадратов его цифр, a3 — сумма квадратов цифр числа a2 и т.д. Докажите, что в последовательности a1, a2, a3, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .