В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ( S – вершина) сторона основания равна 4 , высота пирамиды SH равна 8. SE – апофема пирамиды, лежащая в грани ASD . Через точку C перпендикулярно прямой SE проходит плоскость, которая пересекает отрезок SH в точке O . Точки P и Q расположены на прямых SE и CB соответственно, причём прямая PQ касается сферы радиуса с центром в точке O . Найдите наименьшую длину отрезка PQ .

   Решение

Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник ABCDEF , а её боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Расстояния от точек B и C до прямой SD равны соответственно и . а) Чему равна площадь треугольника ASD ? б) Найдите отношение наименьшей из площадей треугольных сечений пирамиды, проходящих через ребро SD , к площади треугольника ASD .

   Решение

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

   Решение

Докажите, что  cos 2 + cos 2 - cos 2 3/2.

   Решение

В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребенка – простое число.
Сколько лет младшему?

   Решение

Доказать, что существует бесконечно много таких пар  (a, b)  натуральных чисел, что  a² + 1  делится на b, а  b² + 1  делится на a.

   Решение

Из медиан треугольника с углами  , и  составлен треугольник с углами  , и  (угол  лежит против медианы AA₁ и т. д.) Докажите, что если  > > , то  > , > , > > , > и  > .

   Решение

Поместить в полый куб с ребром a три цилиндра диаметра и высоты a так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

Прислать комментарий

Решение

Два человека A и B должны попасть как можно скорее из пункта M в пункт N, расположенный в 15 км от M. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. A отправляется в путь пешком, а B едет на велосипеде до встречи с пешеходом C, идущим из N и M. Дальше B идёт пешком, а C едет на велосипеде до встречи с A и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в N. Когда должен выйти из N пешеход C, чтобы время, затраченное A и B на дорогу в N, было наименьшим? (C идёт пешком с той же скоростью, что A и B; время, затраченное на дорогу, считается от момента выхода A и B из M до момента прибытия последнего из них в N.)

Прислать комментарий

Решение

Из точки C проведены касательные CA и CB к окружности O. Из произвольной точки N окружности опущены перпендикуляры ND, NE, NF соответственно на прямые A, CA и CB. Докажите, что ND есть среднее геометрическое чисел NE и NF.

Прислать комментарий

Решение

ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в ABD и DBC, больше радиуса окружности, вписанной в ABC.

Прислать комментарий

Решение

Поместить в полый куб с ребром a три цилиндра диаметра и высоты a так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]