ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1953 год >> 8 класс, 1 тур
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Провести данным радиусом окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности. Сколько решений имеет эта задача?

Вниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

а) Есть три одинаковых больших сосуда. В одном – 3 л сиропа, в другом – 20 л воды, третий – пустой. Можно выливать из одного сосуда всю жидкость в другой или в раковину. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них из третьего, пока уровни жидкости в выбранных сосудах не сравняются. Как получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа?

б) То же, но воды – N л. При каких целых N можно получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа?

ВверхВниз   Решение

Пусть f (x, y) = x2 + y2 + a1x + b1y + c1 и g(x, y) = x2 + y2 + a2x + b2y + c2. Докажите, что для любого вещественного $ \lambda$$ \ne$1 уравнение f - $ \lambda$g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождённого окружностями f = 0 и g = 0.

ВверхВниз   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что  A1C·BC = B1C·AC.

ВверхВниз   Решение

На хорде AB окружности K с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности K с окружностью, описанной около $ \Delta$ACO. Доказать, что CD = CB.

ВверхВниз   Решение

Разделить отрезок пополам с помощью угольника. (С помощью угольника можно проводить прямые и восстанавливать перпендикуляры, опускать перпендикуляры нельзя.)

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

  с решениями  

Задача 77971  (#1)

Темы:   [ Касающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)
Прислать комментарий     Решение

Задача 35324  (#2)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Каково минимальное целое число вида 111...11, делящееся на 333...33 (100 троек)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 77969  (#3)

Темы:   [ Построения с помощью прямого угла ]
[ Перпендикулярные прямые ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Разделить отрезок пополам с помощью угольника. (С помощью угольника можно проводить прямые и восстанавливать перпендикуляры, опускать перпендикуляры нельзя.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 77972  (#4)

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Доказать неравенство

$\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .