Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1957 год
>>
8 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A1, A2, ..., An, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A1, равны между собой. То же самое верно и для вершин A2, A3, ..., An - 1. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине An, также равны между собой.
Решение
Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 108 равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 109.
Решение
Убрать все задачи
Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A1, A2, ..., An, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A1, равны между собой. То же самое верно и для вершин A2, A3, ..., An - 1. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине An, также равны между собой.
РешениеДоказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 108 равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 109.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья
сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?
Доказать, что число всех цифр в последовательности
1, 2, 3,..., 108 равно
числу всех нулей в последовательности
1, 2, 3,..., 109.
Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG,
соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника,
пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'.
Доказать, что
+ 
+ 
= 3.
В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания
которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника.
В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой
являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья
окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности
треугольников нет двух подобных.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78115 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 78116 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78117 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78118 (#4) |
|
|
Найти все действительные решения системы уравнений
|
|
|
Решение |
Задача 78119 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
