Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами m и n. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?

Вниз   Решение


a1, a2, ..., an — произвольные натуральные числа. Обозначим через bk количество чисел из набора a1, a2, ..., an, удовлетворяющих условию:  aik.
Доказать, что   a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ...

ВверхВниз   Решение


Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?

ВверхВниз   Решение


Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

ВверхВниз   Решение


Решить в натуральных числах уравнение

ВверхВниз   Решение


В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

ВверхВниз   Решение


Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?

ВверхВниз   Решение


Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]      



Задача 78138

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Решить в натуральных числах уравнение

Прислать комментарий     Решение

Задача 78141

Темы:   [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Доказать, что если  |ax² – bx + c| < 1  при любом x из отрезка  [–1, 1],  то и  |(a + b)x² + c| < 1  на этом отрезке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78143

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Решить в целых положительных числах уравнение

Прислать комментарий     Решение

Задача 78150

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 78153

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Четность и нечетность ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами m и n. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .