Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1959 год
>>
9 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.
Решение
Решение
Имеется 1959 положительных чисел a1, a2..., a1959, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1. Решение
Убрать все задачи
Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.
РешениеНа берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)
РешениеИмеется 1959 положительных чисел a1, a2..., a1959, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Имеется 1959 положительных чисел a1, a2..., a1959, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.
Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0,
1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл.
Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не
изменяются?
Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной
окружности хорду данной длины.
Доказать, что не существует тетраэдра, в котором каждое ребро являлось бы
стороной плоского тупого угла.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78178 (#1) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78175 (#2) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 78179 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78180 (#4) |
|
|
Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть Pk – число всех непересекающихся ломаных длины k, начинающихся в точке O – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что Pk·3–k < 2 для любого k.
|
|
|
Решение |
Задача 78181 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
