ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1959 год
Варианты:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Захаров Д.

Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал "по клеткам". Если после очередного сдвига ровно одна клетка у $M$ лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали $M$ по описанным правилам.

Вниз   Решение

Пусть S1 и S2 — площади многоугольников M1 и M2. Докажите, что площадь S($ \lambda_{1}^{}$,$ \lambda_{2}^{}$) многоугольника $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$S1 + 2$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$S12 + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$S2,

где S12 зависит только от M1 и M2.

ВверхВниз   Решение

Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть Pk – число всех непересекающихся ломаных длины k, начинающихся в точке O – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что  Pk·3–k < 2  для любого k.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

  с решениями  

Задача 78175

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 2
Классы: 7,8,9,10

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78169

Темы:   [ Двоичная система счисления ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Пусть a и b — целые числа. Напишем число b справа от числа a. Если число a чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число a1 напишем под числом a. Справа от числа a1 напишем число 2b. С числом a1 проделаем ту же операцию, что и с числом a, и, получив число a2, напишем его под числом a1. Справа от числа a2 напишем число 4b и так далее. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получим в левом столбце число 1. Доказать, что сумма тех чисел правого столбца, слева от которых стоят нечётные числа, равна произведению ab.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78174

Тема:   [ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10

Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью 2 - $ \sqrt{2}$ и $ \sqrt{2}$, перелить из одной в другую ровно 1 литр?
Прислать комментарий     Решение

Задача 78176

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Середины сторон AB и CD обозначим соответственно через K и M, точку пересечения AM и DK — через O, точку пересечения BM и CK — через P. Доказать, что площадь четырёхугольника MOKP равна сумме площадей треугольников BPC и AOD.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78180

Темы:   [ Правило произведения ]
[ Задачи с ограничениями ]
Сложность: 3-
Классы: 10,11

Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть Pk – число всех непересекающихся ломаных длины k, начинающихся в точке O – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что  Pk·3–k < 2  для любого k.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .