Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такой многочлен  f(x) степени 6, что для любого x выполнено равенство  f(sinx) + f(cosx) = 1?

   Решение

---

Трём мудрецам показали 9 карт: шестерку, семерку, восьмерку, девятку, десятку, валета, даму, короля и туза (карты перечислены по возрастанию их достоинства). После этого карты перемешали и каждому раздали по три карты. Каждый мудрец видит только свои карты. Первый сказал: "Моя старшая карта – валет". Тогда второй ответил: "Я знаю, какие карты у каждого из вас". У кого из мудрецов был туз?

   Решение

---

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

   Решение

---

Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника:  AEF, BGH, CIJ, DKL  (EF, GH, IJ, KL – дуги окружности). Докажите, что
  а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;
  б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.

   Решение

---

Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78485  (#1)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Обратные тригонометрические функции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Положительные числа x, y, z обладают тем свойством, что

Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78486  (#2)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78484  (#3)

Тема:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 10

Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78487  (#4)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Десятичная система счисления ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.
Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78488  (#5)

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Разрезания (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями