Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1963 год
>>
11 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.
Три пирата нашли клад, состоящий из 240 золотых слитков общей стоимостью 360 долларов. Стоимость каждого слитка известна и выражается целым числом долларов. Может ли оказаться так, что добычу нельзя разделить между пиратами поровну, не переплавляя слитки?
В треугольнике ABC угол C равен 90o , AC = 5 , sin A = . Найдите BC .
В треугольнике ABC угол C равен 90o , AC = 12 , sin A = . Найдите BC .
Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его
измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?
Внутрь квадрата с координатами левого нижнего угла (0, 0) и координатами
правого верхнего угла (100, 100) поместили N квадратиков, стороны которых
параллельны осям координат и имеют длину 5. Никакие два квадратика не
имеют общих точек. Необходимо найти кратчайший путь из точки (0, 0) в точку
(100, 100), который бы не пересекал ни одного из этих N квадратиков.
Входные данные
В первой строке входного файла содержится целое число N (1 ≤
N ≤ 30), в каждой следующих N строк – координаты левого нижнего угла (x, y)
очередного из квадратиков (0 ≤ x, y ≤ 95).
Выходные данные
Выведите в выходной файл координаты точек искомого пути, в которых
меняется направление движения (включая начальную и конечную точки).
Порядок точек в выходном файле должен соответствовать порядку точек в пути.
Пример входного файла
5
5 5
5 15
15 10
15 20
90 90
Пример выходного файла
0 0
5 10
20 20
95 90
100 100
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?
Дан куб 4×4×4. Расставьте в нем 16 ладей так, чтобы они не били друг друга.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°) проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H1, B1 соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H2, B2 соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H1BH2. Докажите, что OB1 = OB2.
Доказать, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
Ковровая дорожка покрывает лестницу из 9 ступенек. Длина и высота лестницы равны 2 метрам. Хватит ли этой ковровой дорожки, чтобы покрыть лестницу из 10 ступенек длиной и высотой 2 метра?
Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78485 (#1) |
|
|
Положительные числа x, y, z обладают тем свойством, что
|
|
Решение |
Задача 78486 (#2) |
|
|
Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.
|
|
|
Решение |
Задача 78484 (#3) |
|
|
Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 78487 (#4) |
|
|
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в
записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.
Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.
|
|
|
Решение |
Задача 78488 (#5) |
|
|
Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
