Версия для печати
Убрать все задачи

---

N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:
  а)  N = 64,
  б)  N = 55,
  в)  N = 100.

   Решение

---

Пусть  a₁, ..., a₁₁  – различные натуральные числа, не меньшие 2, сумма которых равна 407.
Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 22 числа  a₁, ..., a₁₁, 4a₁, 4a₂, ..., 4a₁₁  равняться 2012?

   Решение

---

Пусть a и b — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле, u — точка пересечения касательных к этой окружности в точках a и b. Докажите, что u = 2ab/(a + b).

   Решение

---

Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O.
Докажите, что ломаная AOC делит его на две равновеликие части.

   Решение

---

В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78609  (#1)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция в геометрии ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

В квадрате расположено K точек (K > 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78610  (#2)

Темы:   [ Наименьший или наибольший угол ] [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные расстояния между которыми все больше 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78611  (#3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Доказать, что уравнение  19x³ – 17y³ = 50  не имеет решений в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78612  (#4)

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Объем круглых тел ] [ Неравенства с объемами ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78613  (#5)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Производящие функции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Из первых k простых чисел  2, 3, 5, ..., p_k  (k > 5)  составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например,  3·5, 3·7·... ·p_k, 11  и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что  S + 1  разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями