Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 86124 (#1)

Темы:	[	Системы тригонометрических уравнений и неравенств	]
Темы:	[	Производная и экстремумы	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Авторы: Ященко И.В., Голенищева-Кутузова Т.И.

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

{ cos x=ax+b

sin x+a=0

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Решение

Решение аналогично решению задачи из варианта А.

Прислать комментарий

Задача 86125 (#2)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
Темы:	[	Уравнения с модулями	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Сергеев И.Н.

Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 250. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 250. Какие значения при этих условиях может принимать величина n²d, где d - разность прогрессии, а n - число ее членов?

Решение

Обозначим сумму модулей членов арифметической прогрессии через S. Покажем, что величина S/(n²d) является постоянной для прогрессий, удовлетворяющих условию задачи, и равна 1/4, если данная прогрессия a₁,a₂, … ,a_n, для определённости, возрастает (для убывающей прогрессии эта величина равна -1/4). Из условия задачи следует, что функция
S(x) = |x - a₁| + |x - a₂| + … + |x - a_n|
принимает в трёх различных точках одинаковые значения. Так как

то при x ≤ a_{i + 1} и i < n/2 эта функция убывает, при a_i ≤ x ≤ a_{i + 1} и i = n/2 - постоянна, а при x ≥ a_i и i > n/2 - возрастает. Следовательно, условие задачи может выполняться только, когда число n = 2k чётно и

Ответ

±1000.

Прислать комментарий

Задача 86120 (#3)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Пермяков Д.А., Скопенков А.Б.

Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. (Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)

Решение

Рассмотрим на доске клетчатый квадрат со стороной 105, который назовём большим. Разобьём его на 25 квадратов 21×21, которые назовём малыми.
Занумерованная клетка, находящаяся на расстоянии менее 10 от центральной клетки некоторого малого квадрата, находится в этом малом квадрате. Так как малые квадраты не пересекаются, то в большом квадрате найдётся хотя бы 25 занумерованных клеток. Наименьшее из чисел в них отличается от наибольшего более, чем на 23. Соответствующие две клетки находятся на расстоянии менее 150, поскольку лежат в большом квадрате, расстояние между наиболее удалёнными клетками которого равно

Прислать комментарий

Задача 86121 (#4)

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С выпуклым четырехугольником ABCD проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам A, B, C, D, A, B,... - всего n раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли:
а) допустимый четырехугольник, который после n<5 операций становится равным исходному;
б) такое число n₀, что любой допустимый четырехугольник после n=n₀ операций становится равным исходному?

Решение

Обозначим через O точку пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям. Заметим, что эта точка остаётся на месте при применении любого количества операций к четырёхугольнику. Обозначим через α₁, α₂, …, α₈ углы, образованные сторонами четырёхугольника и отрезками AO, BO, CO, DO (см. рис. 16). После применения трёх операций стороны четырёхугольника опять будут стоять в прежнем порядке: a, b, c, d, а указанные углы будут расположены, как указано на рис. 17.
Если α₁ + α₄ = α₂ + α₃ и α₆ + α₇ = α₅ + α₈, то четырёхугольник ABCD вписанный. При этом он перейдёт в равный ему четырёхугольник за три операции.
После шести операций стороны опять будут расположены в прежнем порядке и углы будут расположены так, как показано на рис. 16.

Ответ

а) Если ABCD - вписанный четырёхугольник, то он перейдёт в равный четырёхугольник за три операции.
б) Любой допустимый четырёхугольник перейдёт в равный ему четырёхугольник за 6k операций, где k - произвольное натуральное число (например, за n₀ = 6 операций).

Прислать комментарий

Задача 86122 (#5)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Признаки делимости на 11	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

Решение

Обозначим через a первое натуральное число, а через b и c записанные за ним двузначные числа. Пусть x = a + b + c. По условию
10⁴a + 100b + c = x³.
Если x ≥ 100, то x³ ≥ 10⁴x = 10⁴(a + b + c) > 10⁴a + 100b + c, то есть уравнение не имеет решений.
Следовательно, x – двузначное число, a – либо однозначное, либо двузначное число, а x³ – пяти- либо шестизначное число. Кроме того, x ≥ 22
(21³ = 9261 – четырёхзначное число).
Заметим, что число x³ − x = 9999a + 99b делится на 99. Так как x³ − x = x(x − 1) (x + 1), то среди чисел x − 1, x, x + 1 какое-то делится на 9 и какое-то на 11. Поскольку 22 ≤ x ≤ 99, возможны следующие случаи:
1) x = 44 (x + 1 = 45), 44³ = 85184, 8 + 51 + 84 > 44;
2) x = 45 (x − 1 = 44), 45³ = 91125, a = 9, b = 11, c = 25;
3) x = 54 (x + 1 = 45), 54³ = 157464, 15 + 74 + 64 > 54;
4) x = 55, (x − 1 = 54), 55³ = 166375, 16 + 63 + 75 > 55;
5) x = 89, (x − 1 = 88, x + 1 = 90), 89³ = 704969, 70 + 49 + 69 > 89;
6) x = 98, (x + 1 = 99), 98³ = 941192, 94 + 11 + 92 > 98;
7) x = 99, x³ = 970299, 2 – не двузначное число.

Ответ

9, 11, 25.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]