Версия для печати
Убрать все задачи

---

На прямой имеется 2n+1 отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

   Решение

---

В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.

   Решение

---

В таблице
    0 1 2 3 ... 9
    9 0 1 2 ... 8
    8 9 0 1 ... 7
        ...
    1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98209  (#1)

Темы:   [ Ребусы ] [ Десятичная система счисления ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Ученик не заметил знака умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число. Результат получился в три раза больше.
Найти эти числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107757  (#2)

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98211  (#3)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Степень вершины ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Деревья ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Каждый из 450 депутатов парламента дал пощёчину ровно одному своему коллеге.
Докажите, что можно избрать парламентскую комиссию из 150 человек, среди членов которой никто никого не бил.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98212  (#4)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В таблице
    0 1 2 3 ... 9
    9 0 1 2 ... 8
    8 9 0 1 ... 7
        ...
    1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98213  (#5)

Темы:   [ Подобие ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями