Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых – 1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара "противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника) отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две параллельные стороны.

   Решение

---

Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.

   Решение

---

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что  AOC = 90^o.

   Решение

---

Докажите, что произведение всех целых чисел от  2¹⁹¹⁷ + 1  до  2¹⁹⁹¹ – 1  включительно не есть квадрат целого числа.

   Решение

---

Пусть m, n и k – натуральные числа, причём  m > n.  Какое из двух чисел больше:

    или  

(В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)

   Решение

---

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

   Решение

---

а) Докажите, что если  a + h_a = b + h_b = c + h_c, то треугольник ABC правильный.
б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат на стороне AC, у другого — на BC, у третьего — на AB. Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC правильный.

   Решение

---

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

   Решение

---

Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

   Решение

---

{a_n} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт  1 – |1 – 2x|.
  а) Докажите, что если a₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a₁ рационально.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98220  (#1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Существует ли бесконечное число таких троек целых чисел x, y, z, что   x² + y² + z² = x³ + y³ + z³?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98221  (#2)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Обыкновенные дроби ] [ Уравнения с модулями ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

{a_n} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт  1 – |1 – 2x|.
  а) Докажите, что если a₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a₁ рационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107765  (#3)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Малые шевеления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))ⁿ,  n > 1,  положительны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107763  (#4)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107758  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями